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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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1. Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de $f$. Hacer un gráfico de
a) $f(x)=\frac{1}{x-2}$

Respuesta

Bienvenido/a a las funciones homográficas. Vimos que son aquellas donde tenemos un cociente (división) de dos polinomios de grado 1 (funciones lineales). Se presentan en dos estructuras típicas, por lo que es fácil reconocerlas. Pero aunque no supieras reconocerlas podés resolver este ejercicio con las herramientas que ya adquiriste a lo largo del curso y de esta guía. Así que nada de excusas.
Algunas cositas de utilidad sobre las funciones homográficas (los otros tips están en el curso online): 
$Dom\ f: \mathbb{R} -\{AV\}$   
$Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}$  


¡Ahora sí, empecemos!
$f(x) = \frac{1}{x-2}$

Dominio:
Para encontrar el dominio, debemos identificar los valores de $x$ para los que la función no está definida, es decir, aquellos que anulan el denominador:

$x-2\neq0$ $x\neq2$

• $Dom\ f: \mathbb{R} -\{2\}$


Asíntotas Horizontales: Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende al infinito para determinar si hay una asíntota horizontal:

$\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{1}{x-2} = 0$

• Hay A.H. en $y=0$ 


Imagen:  Dado que hay una A.H. en $y=0$:

• $Im\ f: \mathbb{R} -\{0\}$


Asíntotas Verticales:  Calculamos el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a los valores restringidos del dominio para determinar si hay alguna asíntota horizontal: 
$\lim_{x\rightarrow2} \frac{1}{x-2} = \infty $

• Hay A.V. en $x=2$


Conjunto de ceros:  Para encontrar los ceros de la función, resolvemos $f(x)=0$:  

$f(x)=0$ $\frac{1}{x-2}=0 \rightarrow 1=0(x-2) \rightarrow 1=0$ ¡Abs! No existen ceros  

• $C^0$ = Ø 


Conjuntos de positividad y negatividad: Es necesario hacer el análisis de signos mediante Bolzano, una vez conocidos el $Dom f$ y el $C^0$.

• $C^{+}=(2 ; +\infty)$ • $C^{-}=(-\infty ; 2)$



TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.

• Límites Laterales $\lim_{x\rightarrow2^{-}} \frac{1}{x-2} = -\infty$ $\lim_{x\rightarrow2^{+}} \frac{1}{x-2} = +\infty$





⚠️La verdad es que no toman gráficos, pero está buenísimo si podes al menos mirarlos, para entender qué son esas cosas que estás calculando.⚠️




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Avatar Bel 4 de mayo 12:40
Hola Juli, la guía pide intervalo de crecimiento y de decrecimiento. Eso como lo leemos en este tipo de gráficos?
Avatar Julieta Profesor 5 de mayo 12:04
@Bel Hola Bel! Me pasarías foto de la guía porque en la que yo tengo no te piden eso. En el segundo parcial si entra
Avatar Mallo 16 de septiembre 13:56
hola profe, tengo una duda, en funciones homograficas segun mi guia todavia no vimos limites, en ese caso como sacaria la imagen? a sobre c? 
Avatar Julieta Profesor 18 de septiembre 18:07
@Mallo Hola, qué extraño que les hayan puesto homográficas antes que límites, porque suelen tomar eso y quieren que lo demuestren con límites. Pero en principio sí, esa sería la forma, tal como lo vimos en el video de funciones homográficas. 
Avatar Emilia 13 de septiembre 12:01
Hola profe, en clase nos explicaron que el intervalo de positividad y negatividad es distinto del conjunto que esta en la resolucion, y en el punto pide el intervalo, eso esta ok?
Avatar Julieta Profesor 13 de septiembre 18:49
@Emilia Hola Emi, ¿será intervalo de crecimiento y de decrecimiento tal vez? 
Avatar Emilia 14 de octubre 19:54
@Julieta siii eso, perdon
Avatar Abigail 9 de septiembre 22:25
hola profe, para hacer conjunto de ceros solo igualo a 0 el denominador, pero no me doy cuenta en que momento debo igualar la funcion en 0 y resolver solo una parte, como en el video anterior. me gustaria entender mejor

Avatar Julieta Profesor 13 de septiembre 18:48
@Abigail Hola Abi, SIEMPRE que tengas una división y la iguales a cero, el numerador va a ser 0 (nunca el denominador puede ser cero en matemáticas, nunca jamás). Y de igualar el numerador a cero vas a poder despejar x y obtener el conjunto de ceros.
Avatar tao 12 de mayo 22:14
hola profe una consulta, al principio decis que dominio es igual a todos los reales - av pero despues cuando calculamos dominio es 2, no -2 como lo es originalmente la asintota vertical
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 13:30
@tao Hola Tao, la AV es x=2
Avatar Daniela 12 de mayo 12:02
hola juli no termino de entender porque hay AH en y=1 es por el numerador??
Avatar Julieta Profesor 15 de mayo 13:29
@Daniela Hola, me había quedado de otro ejercicio jiji, pero es 0
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